第1部：関数の多項式表現とマクローリン展開
この章では、複雑な関数をシンプルで扱いやすい「多項式（ のべき乗の足し算）」の形に変形していくアプローチを学びます。その入り口となるのが、高校数学でもおなじみの「等比級数」です。
等比級数はスゴイ！
まずは、初項 、公比 の等比数列の和 を思い出してみましょう。
この和を求めるためのテクニックとして、両辺に公比 を掛けたものを引き算します。
したがって、 のとき、等比数列の和の公式は次のように求まります。
無限等比級数へのステップアップ
ここで、 を無限大（）に飛ばすことを考えます。 もし、公比 の絶対値が1より小さければ（）、 は に近づいていきます（）。
すると、無限等比級数の和は非常にシンプルな形になります。
分数の正体？
先ほど導いた無限等比級数の公式 を、少し違った視点で見てみましょう。 初項 、公比 と置き換えてみると、次のような関数 の式が得られます。
これは驚くべき結果です。 という分数関数が、 の無限の足し算（多項式）で表現できることを意味しています。
収束する範囲（）に注意
この等式が成り立つのは、あくまで公比に相当する が を満たす範囲だけです。グラフを描いてみると、 が から の間でのみ、元の分数関数と多項式の和がピタリと一致することがわかります（ では発散してしまいます）。
対数の正体？
分数関数が多項式で書けるなら、これを「積分」してみたらどうなるでしょうか？
式 の両辺を で積分してみます。左辺は対数関数になります。
右辺の多項式も順番に積分していくと、次のようになります。 （※積分定数はここでは一旦置いておきます）
なんと、対数関数 も多項式で表現できることがわかりました！
逆に「微分」してみると？
今度は逆に の両辺を微分してみましょう。
左辺の微分：
右辺の微分：
よって、次のような新しい関数の展開式も手に入ります。
このように、知っている展開式を積分したり微分したりすることで、色々な関数を多項式の形に変形できるのです。
いろいろな関数を多項式へ：マクローリン展開
分数や対数だけでなく、 や 、 など、あらゆる関数 を多項式で表すことはできないでしょうか？
このとき、私たちが知りたいのは各項の係数 の値です。 これを求めるための鮮やかなアプローチを見ていきましょう。
係数 を求めるステップ
1. を代入して「バッサリ」斬る 元の式に を代入すると、 が含まれる項はすべて消え去ります。
これで最初の係数 がわかりました。
2. 1回微分して を代入 元の式を1回微分してみます。
ここに再び を代入すると、定数項になった だけが残ります。
3. 2回微分して を代入 もう一度微分します。
を代入すると：
4. 3回微分して を代入 さらにもう一度微分します。
を代入すると：
マクローリン展開の公式
この操作を繰り返していくと、一般の係数 は次のように求まることが法則として見えてきます。
（※ は関数 を 回微分して を代入した値です）
これを元の多項式の式に当てはめると、あらゆる関数 を多項式で表現する究極の公式「マクローリン展開（Maclaurin series）」が完成します。
一見複雑な関数も、このマクローリン展開を使うことで、コンピュータでも計算しやすい単純な「足し算と掛け算（多項式）」の形に落とし込むことができるのです。
代表的な関数のマクローリン展開
先ほど導いたマクローリン展開の公式 を使って、よく知られた関数を多項式に変形してみましょう。
1. 指数関数
は、何回微分しても のままです。そのため、 を代入した値は常に となります。これを公式に当てはめると、非常に美しい級数が得られます。
2. 三角関数 と
を微分していくと、 と周期的に変化します。これに を代入すると、 が繰り返されます。 偶数乗の項が消え、奇数乗の項だけが残り符号が交互に入れ替わる多項式になります。
同様に を展開すると、今度は奇数乗の項が消え、偶数乗の項だけが残ります。
数学における「奇跡の出会い」：オイラーの公式
ここで、指数関数 の展開式 に、虚数単位 を含む を代入してみましょう。 となる性質を使うと、式は次のように展開・整理されます。
これを実数部分（ がつかない項）と虚数部分（ がつく項）に整理して分けてみます。
奇跡の符合
なんと、前半の括弧の中身は「 のマクローリン展開」、後半の括弧の中身は「 のマクローリン展開」と完全に一致しています！
これにより、全く別物だと思われていた「指数関数」と「三角関数」が、複素数の世界で一つに結びつく世紀の公式が導かれます。
級数の収束性：その多項式はどこまで信用できる？
関数を無限の多項式（級数）で表現できることがわかりましたが、実は「どんな を代入しても無限の足し算が計算できる（発散しない）」わけではありません。 無限級数 がきちんと有限の値を持つ（収束する）範囲を知るための、強力な判定法を2つ紹介します。
1. ダランベールの収束判定法（比判定法）
隣り合う項の「比」に注目する方法です。 ある項から次の項へ進むとき、値がどれくらい変化するかを調べます。この比の絶対値の極限が より小さければ、その級数は絶対収束します。
式を変形すると、収束する の範囲（収束半径）は となります。
2. コーシー・アダマールの収束判定法（根判定法）
項の 乗根に注目する方法です。ダランベールの判定法が使えない場合にも有効です。
（※ は上極限を表します。）
判定法の適用例： と はどこまで計算できる？
先ほど導いた や のマクローリン展開は、どの範囲の で成り立つのでしょうか？
- の場合： 係数は です。ダランベールの判定法で比を計算すると となり、 でこの値は に近づきます。
- の場合： 係数は です。同様に比を計算すると となり、やはり で になります。
極限が になるということは、 がどれだけ大きな値であっても、掛け算した結果は必ず より小さくなる（収束の条件を満たす）ことを意味します。 つまり、 や のマクローリン展開は、すべての実数範囲（）で有効であり、完全に一致するという非常に強力な性質を持っているのです。