第9部：複素積分の総決算 —— 留数定理と極の計算

前章で学んだ「コーシーの積分公式」とその微分の一般化は、積分を代入や微分に変換する強力なツールでした。この章では、それらの知識をすべて統合し、複数の特異点（計算が破綻する穴）を持つ複雑な関数をシステマティックに解くための最強の法則「留数定理（りゅうすうていり）」を解説します。

特異点が複数ある場合の積分：経路の分割

ある閉じた経路の内側に、特異点が複数（例えばと）含まれている場合を考えます。このとき、積分経路をグニャッと変形して、それぞれの特異点を囲む小さな円とに分割することができます。正則な（特異点がない）部分を通る経路は往復で打ち消し合うため、全体の積分は「各特異点を囲む積分の足し合わせ」になります。

そして、それぞれの小さな円での積分は、前章で見たように「」という形になります。この「何か」にあたる値のことを「留数（Residue: Res）」と呼びます。これをまとめたものが、複素解析の総決算とも言える「留数定理」です。

積分を解くという作業は、単に「それぞれの特異点での留数を計算して足し合わせる」だけのシステマティックなゲームへと変わります。

分母がのように1乗の形になっている特異点のことを「1位の極」と呼びます。関数がの形で表されるとき、での留数を求めるには、邪魔な分母を掛け算して打ち消し、そのままの極限をとるだけで求まります。

分母を因数分解するととなり、特異点はとの2つ存在します。それぞれの留数を計算してみましょう。

・での留数 にを掛けるとになります。ここにを代入します。

もし積分経路がこれら両方の特異点を囲んでいた場合、全体の積分値は留数の和にを掛けたものになります。

分母がのように複数乗になっている特異点のことを「位の極」と呼びます。この場合、単にを掛けるだけでは分母は消せますが、コーシーの積分公式の一般化（微分の公式）を思い出すと、階乗による補正と微分の操作が必要になります。

公式としてまとめると、次のようになります。

特異点はであり、分母が2乗なのでこれは「2位の極（）」です。公式に従い、にを掛けて分母を消した残りの部分（つまり）を、で1回微分してからを代入します。階乗の係数はです。

したがって、この積分の答えは次のように求まります。

ノートの最後にあるように、もしだったとしたらどうなるでしょうか？これは「100位の極（）」となります。留数を求めるには、を掛けて残ったをなんと「99回微分」し、を掛けてを代入します（は何回微分してもなので、微分の計算自体は一瞬で終わります）。

このように、留数定理をマスターすれば、どんなに複雑な経路や多重の特異点を持つ積分であっても、代数的な「極限」と「微分」の計算作業に落とし込むことができるのです。