第6部：複素関数の微分とコーシー・リーマンの関係式
前章の最後で、複素数の微分には「どの方向から近づいても結果が同じになる」という極めて厳しい条件が必要だと触れました。この章では、その条件を数式として明確に定義し、複素関数が美しい性質を持つためのパスポートである「コーシー・リーマンの関係式」を導出します。
を含まない「純粋な の関数」とは？
複素数 と、その共役複素数 を用いると、実数 と は次のように逆算して表現できます。
ここで、関数 の全微分 を と を用いて展開してみましょう。
もしある複素関数 が、本当に「 だけの関数」であるならば、そこに の成分が混ざっていてはいけません。つまり、右辺第2項の偏微分が になる必要があります。
これが成り立つとき、 となり、まるで実数の1変数関数のように綺麗に微分を扱うことができます。この に依存しないという条件を満たすとき、関数 は「正則である（微分可能である）」と言います。
コーシー・リーマンの関係式の導出
関数を実部と虚部に分けて と置きます。 先ほどの式(6.3)の条件を、連鎖律（チェインルール）を使って と の偏微分に書き換えてみましょう。
ここに を代入して展開し、実部と虚部に整理します。
これが完全に になるためには、実部も虚部も共に でなければなりません。ここから、複素解析における最重要方程式が導かれます。
これを「コーシー・リーマンの関係式」と呼びます。この2つの式を同時に満たして初めて、その関数は正則な関数として認められます。
具体例で判定してみよう
先ほどの方程式を使って、いくつかの関数が正則かどうかをチェックしてみましょう。
例1： （絶対値の2乗）
絶対値の2乗は です。虚部はないので となります。 をそれぞれ偏微分すると、、 となります。 これをコーシー・リーマンの関係式(6.6)に当てはめると、 かつ となり、原点 以外では成り立ちません。つまり、 は複素数平面上で「正則ではない」関数です。
例2： （反比例）
分母を有理化して実部と虚部に分けると、次のようになります。
これを愚直に偏微分して関係式に当てはめると、見事に等式が成立します。ただし、分母が になってしまう （原点）だけは計算ができず例外となります。 このように、一点だけで正則性が壊れてしまう場所のことを「孤立特異点」と呼びます。
どの方向から近づいても同じ（微分の定義からのアプローチ）
最後に、微分の定義式を使って別の視点から確認してみましょう。
複素数平面上で と近づくとき、2つの極端なルートを考えます。
1. 実軸に沿って横から近づく（） このとき、極限の計算結果は次のようになります。
2. 虚軸に沿って縦から近づく（） 分母に虚数単位 が入るため、計算結果は次のようになります。
正則関数である（微分が可能である）ためには、「どの方向から近づいても微分の値が完全に一致」しなければなりません。 式(6.9)と式(6.10)の実部同士、虚部同士が等しいと置いてみてください。すると、先ほどの「コーシー・リーマンの関係式」が全く同じ形で姿を現すことがわかります。