第12部：ローラン級数展開の計算テクニック —— テイラー展開と等比級数の融合
前章でローラン級数展開の概念を学びましたが、実際に複雑な関数をローラン展開するにはどうすればよいのでしょうか。積分をガリガリ計算する必要はありません。すでに知っているテイラー展開（マクローリン展開）と等比級数の公式をパズルのように組み合わせることで、システマティックに展開式を導き出すことができます。
最もシンプルな例：既知の展開式の代入
まずは、既によく知っている関数の展開式をそのまま代入するアプローチです。 例として、 という関数を の周りでローラン展開してみましょう。指数関数 のマクローリン展開は次のようになります。
これを元の関数に代入し、全体を で割る（つまり を分配する）だけで、あっという間にローラン展開が完了します。
この式を見ると、（つまり ）の係数は です。したがって、この関数の における留数は であることが一瞬でわかります。
等比級数の公式を「関数」に拡張する
次に、分母に多項式や関数が含まれている場合の強力な武器となるのが、等比級数の和の公式です。
この公式の の部分を、丸ごと別の関数 に置き換えてしまいます。符号がプラスの場合は、さらに次のように変形できます。
このテクニックを使って、少し複雑な関数 を展開してみましょう。 まず、分母の をマクローリン展開します。
分母全体を でくくり出します。
ここで、括弧の中身を先ほどの公式の だとみなします。式(12.4)に従って の形に展開します。
これを次数ごとに整理すると、見事にローラン級数が得られます。
究極の応用：双曲線関数と留数の抽出
最後に、さらに高度な例として の展開に挑戦しましょう。双曲線正弦 は指数関数から作られ、そのマクローリン展開は奇数乗だけが残る美しい形になります。
これを使って、まずは の部分だけを展開します。先ほどと全く同じように でくくり、等比級数の公式を適用します。
括弧の中を整理します。
最後に、忘れずに元の関数の を掛け合わせます。
ここで最も重要なのは、 の係数である です。留数の定義を思い出すと、ローラン展開の の係数（）こそが留数そのものでした。 つまり、面倒な極限計算や微分を何回も繰り返さなくても、この代数的な展開パズルを解くだけで、特異点での留数が であるとズバリ求めることができるのです。