第4部：波と回転の数学 —— 複素数平面

これまでの章でオイラーの公式を「奇跡の出会い」として紹介し、フーリエ変換でも当たり前のように利用してきました。この章では、そもそもなぜ指数関数と三角関数が結びつくのか、そして虚数が持つ「回転」という真の姿について、複素数平面の視点から解き明かします。

複素数平面（ガウス平面）の基本

実数と、そして虚数単位を用いて、複素数を次のように表します。

これを横軸を実部、縦軸を虚部とした2次元の平面（複素数平面）上の点として捉えます。原点からの距離（絶対値）を、実軸とのなす角（偏角）をとすると、次のような関係が成り立ちます。

これを用いると、複素数は三角関数を使った「極形式」で表現できます。

また、虚部の符号を反転させた共役複素数を用いると、複素数の絶対値の2乗は次のように美しく計算できます。

極形式の真価は、複素数同士の「掛け算」をしたときに発揮されます。 2つの複素数とを掛け合わせてみましょう。

三角関数の加法定理を用いてこの式を展開・整理すると、驚くべき結果が得られます。

「複素数を掛けることは、絶対値を掛け合わせ、角度（偏角）を足し合わせること」に他ならないのです。ここで、角度の部分の関数をと置いてみましょう。式(4.6)の結果から、次のような関係が成り立っていることがわかります。

掛け算が足し算に変換される……これはまさに「指数関数」の性質そのものです。ここに指数関数との繋がりの強力なヒントが隠されていました。

先ほどの関数を、今度はで微分してみましょう。

ここで右辺をでくくってみると、見事に元の関数が現れます（を利用します）。

この微分方程式を変形すると、次のようになります。

「微分して元の関数と同じ形になる（しかも定数が飛び出してくる）」関数といえば、自然対数の底を用いた指数関数しかありません。これにより、第1部でマクローリン展開から導いた世紀の公式が、微分方程式の視点からも完璧に証明されました。

最後に、2次元空間での「回転」を表す回転行列を考えてみましょう。

この行列の性質を調べるために、固有値を求める特性方程式を解いてみます。

展開して整理すると、についての2次方程式になります。

解の公式を使ってこの固有値を求めると、次のようになります。

実数の2次元空間で「回転」を表す行列の固有値が、複素数平面の「」そのものになりました！つまり、二次元平面における軸を「虚数化」して複素数平面とみなすことで、複雑な行列計算を必要とする2次元の回転操作が、単なる「 の掛け算」という極めてシンプルな計算に落とし込めるのです。

この「波や回転を指数関数でエレガントに扱う」という強力な基盤があるからこそ、前章までのフーリエ変換が魔法のように機能するわけです。