付録B：量子ビットの物理的実現 —— 超伝導回路とジョセフソン接合

これまで講義では、量子状態を抽象的な「ベクトル」や「波」として扱ってきました。しかし、量子コンピュータ（量子アニーリングマシンやゲート型量子コンピュータ）を現実の世界に作るためには、意図的にコントロールできる**「2準位系（量子ビット）」**を物理的に組み上げなければなりません。

この付録では、現在最も有力な方式の一つである「超伝導回路」を用いた量子ビットの作り方を解説します。

1. なぜ調和振動子では量子ビットにならないのか？

第8部で学んだLC回路（インダクタ とキャパシタ ）やバネの振動子は、マクロな世界であっても量子力学的に振る舞います。 コイルとコンデンサに挟まれた電気振動のハミルトニアンは、調和振動子と全く同じ形になります。

（ここで電荷 が運動量 に、磁束 が位置 に対応します）

この系は、 刻みの完全に等間隔なエネルギー準位 を持ちます。 しかし、これでは量子ビットとして使えません。状態 と の間の遷移エネルギー（）と同じエネルギーのマイクロ波を当てると、意図せず から 、さらには へと、際限なく階段を昇り降り（漏話）してしまうからです。

量子ビットを作るための絶対条件は、**「エネルギー準位の間隔が非等間隔であること（非線形性）」**なのです。

2. ジョセフソン接合：非線形性をもたらす魔法の素子

調和振動子のポテンシャル（放物線）を歪めるために、超伝導体を用いた特殊な素子**「ジョセフソン接合（Josephson Junction）」**を導入します。 これは、2つの超伝導体の間にごく薄い絶縁体を挟んだ構造をしています。

2つの超伝導体の巨視的波動関数の位相差を とすると、絶縁体を通して流れる超伝導電流（クーパー対のトンネル電流）は、位相差のサイン関数に比例します（ジョセフソン効果）。

（ は臨界電流、 は磁束量子、 は接合にかかる磁束です）

ファラデーの電磁誘導の法則 と、一般的なインダクタの定義 を見比べると、ジョセフソン接合が持つ「実効的なインダクタンス 」が計算できます。

普通のコイル（インダクタンス が一定）とは異なり、ジョセフソン接合のインダクタンスは磁束 に依存して変化します。これが究極の非線形性を生み出します。

3. ジョセフソン・エネルギーと非調和ポテンシャル

この接合に蓄えられるエネルギー（ポテンシャルエネルギー）を計算するため、電流と電圧の積を時間積分します。

ポテンシャルエネルギーが、放物線ではなく**コサインカーブ（周期ポテンシャル）**になりました。 が小さい領域でテイラー展開してみましょう。

第1項だけなら普通のLC回路（調和振動子）ですが、第2項のマイナスの4次項によって、ポテンシャルが外側にいくほど緩やかになります。 第10部の摂動論で計算した通り、この4次項のせいで**エネルギー準位の間隔が狭まっていく（非等間隔になる）**のです。この性質を利用し、下から2つの準位だけを切り出して人工的な「量子ビット」として操作します。

4. 磁束量子ビット（Flux Qubit）の実現

超伝導リングの中に、奇数個（通常は3つ）のジョセフソン接合を組み込んだ回路を**磁束量子ビット（Flux Qubit）**と呼びます。（大関先生の講義で「0.5」付近での振る舞いとして図示されているものです）

外部からリングを貫く磁場（バイアス磁束）をちょうど半整数個の磁束量子（）に設定すると、系は究極のジレンマに陥ります。

• 「右回りに電流を流して磁束を増やし、全体で にしよう」とする状態
• 「左回りに電流を流して磁束を打ち消し、全体で にしよう」とする状態

この2つの状態のエネルギーが完全に釣り合い、ポテンシャルは対称なダブルウェル（二重井戸）型になります。 トンネル効果によってこの2つの状態が混ざり合い、系の基底状態と第1励起状態は、右回り電流と左回り電流の「重ね合わせ状態」になります。

これが、量子アニーリングマシン（D-Waveなど）の内部で実際に使われている、超伝導ループを用いた「ミクロな電流の向きの量子重ね合わせ」の正体です。