補遺: Landau-Zener遷移

量子アニーリングで「ゆっくりハミルトニアンを変える」と言うとき、何が起これば成功で、何が起これば失敗なのでしょうか。その最小模型がLandau-Zener遷移です。二準位系のエネルギー差を時間に比例して変え、二つの状態を横方向の結合で混ぜる。たったこれだけで、量子ゆらぎ、エネルギーギャップ、非断熱遷移、アニーリング時間の意味が見えてきます。

1. 二準位ハミルトニアン

基底 $|0⟩,|1⟩$ を取り、ハミルトニアンを

$$\hat{H}(t)=\hslash (-\alpha t{\hat{\sigma }}^z-g{\hat{\sigma }}^x)$$

とします。行列で書けば

$$\hat{H}(t)=\hslash \left(\begin{array}{cc}-\alpha t& -g\\ -g& \alpha t\end{array}\right)$$

です。$\alpha$ は縦磁場を掃引する速さ、$g$ は二つの状態を混ぜる横方向の結合です。

$g=0$ なら、二つのエネルギーは

$$E_0(t)=-\hslash \alpha t,E_1(t)=\hslash \alpha t$$

で、$t=0$ で交差します。しかし $g\ne 0$ なら交差は避けられます。固有エネルギーは

$$E_{\pm }(t)=\pm \hslash \sqrt{(\alpha t{)}^2+g^2}$$

となり、エネルギーギャップは

$$\mathrm{\Delta }(t)=E_{+}(t)-E_{-}(t)=2\hslash \sqrt{(\alpha t{)}^2+g^2}$$

です。最小ギャップは

$${\mathrm{\Delta }}_{min}=2\hslash g$$

です。横磁場がないとギャップは閉じ、横磁場があるとギャップが開きます。この一点が、量子アニーリングの直観をかなり支えています。

コラム 2024大学院講義 第7回 0:18:00-0:22:00

Landau-Zenerを避けずに読む理由

Landau-Zener遷移は古典的なトピックですが、量子アニーリングを考えるうえでは今でも避けて通れません。講義では、式そのものは二準位系の練習問題のように見えるのに、解析は意外に難しく、だからこそ何度も新しい導出が工夫されてきた、という雰囲気も紹介されました。

ここで学ぶべきことは、古い問題を暗記することではありません。横磁場が状態を混ぜ、ギャップを作り、掃引速度と競争します。その競争の最も小さな舞台がLandau-Zener問題です。

2. 横磁場がない場合

まず $g=0$ とします。状態を

$$|\psi (t)⟩=a(t)|0⟩+b(t)|1⟩$$

と置くと、Schrodinger方程式から

$$\dot{a}(t)=i\alpha ta(t),\dot{b}(t)=-i\alpha tb(t)$$

が得られます。解は

$$a(t)=a(t_0)e^{i\alpha (t^2-t_0^2)/2},b(t)=b(t_0)e^{-i\alpha (t^2-t_0^2)/2}$$

です。振幅の絶対値は変わらず、位相だけが回ります。つまり、$|0⟩$ と $|1⟩$ の間の遷移は起こりません。縦磁場をどれだけ掃引しても、状態を混ぜる項がなければ、基底のラベルは固定されたままです。

3. 横磁場がある場合

$g\ne 0$ では、

$$\dot{a}(t)=i\alpha ta(t)+igb(t),\dot{b}(t)=iga(t)-i\alpha tb(t)$$

となります。二つの微分方程式が結合し、$a$ と $b$ が互いに流れ込みます。横磁場が状態遷移を作る、というのはこの連立方程式の中身です。

瞬間固有状態を

$$\hat{H}(t)|\pm (t)⟩=E_{\pm }(t)|\pm (t)⟩$$

と書きます。$t\to -\mathrm{\infty }$ では基底状態はほぼ $|1⟩$、$t\to +\mathrm{\infty }$ では基底状態はほぼ $|0⟩$ です。十分ゆっくり掃引できれば、状態は瞬間基底状態を追いかけ、$|1⟩$ から $|0⟩$ へ移ります。

4. 位相を外して振幅を追う

ここから、公式をただ眺めるのではなく、振幅の計算を追ってみます。連立方程式の中で大きく振動しているのは、縦磁場 $\alpha t$ が作る位相です。横磁場がなければ、$a,b$ の絶対値は変わらず、位相だけが $\exp (\pm i\alpha t^2/2)$ として回っていました。そこで、その速い位相を先に外し、残りのゆっくりした部分を $c(t),d(t)$ と書きます。

$$a(t)=e^{i\alpha t^2/2}c(t),b(t)=e^{-i\alpha t^2/2}d(t)$$

これを連立方程式に代入します。$a$ の式では、$e^{i\alpha t^2/2}$ を微分したときに出る $i\alpha t$ が、もとの $i\alpha ta$ とちょうど打ち消し合います。同様に $b$ の式でも、$-i\alpha t$ の部分が消えます。残るのは横磁場による混合だけです。

$$\dot{c}(t)=ig{e}^{-i\alpha t^2}d(t),\dot{d}(t)=ig{e}^{i\alpha t^2}c(t)$$

これは回転座標系に移ったような式です。縦磁場によってぐるぐる回る位相は吸収され、横磁場 $g$ が $c$ と $d$ をつなぐ役として残ります。初期時刻で基底状態、すなわちほぼ $|1⟩$ にいるとすると、

$$c(-\mathrm{\infty })=0,d(-\mathrm{\infty })=1$$

です。まず $\dot{c}$ の式を積分すると、

$$c(t)=ig{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{e}^{-i\alpha t_2^2}d(t_2)d{t}_2$$

となります。これを $\dot{d}$ の式へ代入すると、$d$ だけを含む積分微分方程式が得られます。

$$\dot{d}(t)=-g^2{e}^{i\alpha t^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{e}^{-i\alpha t_2^2}d(t_2)d{t}_2$$

ここで大切なのは、$e^{-i\alpha t_2^2}$ は位相が二次関数なので激しく振動する一方、$d(t_2)$ は横磁場によってゆっくり変わる量だ、という見方です。そこで積分の中では $d(t_2)$ を現在時刻の $d(t)$ で代表させます。これはMarkov近似、あるいは「速い振動と遅い振幅を分ける」近似です。

$$\dot{d}(t)\simeq -g^2{e}^{i\alpha t^2}\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)d(t)$$

したがって

$$d(t)\simeq \exp [-g^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{e}^{i\alpha t_1^2}\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t_1}{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)d{t}_1]$$

となります。ここまで来ると、量子力学というより、あとは振動する積分をどう評価するかという問題になります。

5. Fresnel積分を評価する

最終時刻 $t\to \mathrm{\infty }$ で必要なのは、次の二重積分です。

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\alpha t_1^2}\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t_1}{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)d{t}_1$$

内側の積分範囲を $0$ で分けます。

$$I=I_1+I_2$$

ただし

$$I_1={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\alpha t_1^2}\left({\int }_0^{t_1}{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)d{t}_1,I_2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\alpha t_1^2}\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)d{t}_1$$

$I_1$ は、$t_1\mapsto -t_1,t_2\mapsto -t_2$ と変数変換すると、積分範囲の向きだけが反転して $I_1=-I_1$ となります。したがって

$$I_1=0$$

です。残る $I_2$ は、内側が $t_1$ に依存しない定数なので、二つのFresnel積分の積になります。$\alpha >0$ として、

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pm i\alpha t^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}{e}^{\pm i\pi /4}$$

を使うと、

$$I_2=\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\alpha t_1^2}d{t}_1\right)\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-i\alpha t_2^2}d{t}_2\right)=\frac{1}{2}\frac{\pi }{\alpha }$$

です。したがって

$$d(\mathrm{\infty })\simeq \exp (-\frac{\pi g^2}{2\alpha }),|d(\mathrm{\infty }){|}^2\simeq \exp (-\frac{\pi g^2}{\alpha })$$

が得られます。$d$ は初期の $|1⟩$ 成分に残る振幅です。$t\to +\mathrm{\infty }$ では $|1⟩$ は高いエネルギー側なので、$|d(\mathrm{\infty }){|}^2$ は「基底状態へ乗り換えられずに取り残される確率」です。一方、低エネルギー側の $|0⟩$ へ移る確率は、正規化から

$$|c(\mathrm{\infty }){|}^2\simeq 1-\exp (-\frac{\pi g^2}{\alpha })$$

となります。$g^2/\alpha$ が小さいときには

$$1-\exp (-\frac{\pi g^2}{\alpha })=\frac{\pi g^2}{\alpha }+O\left(\frac{g^4}{{\alpha }^2}\right)$$

で、横磁場が弱い、あるいは掃引が速いと、低エネルギー状態への乗り換えは小さくなります。この計算は、Landau-Zener公式の指数が「横磁場の二乗」と「掃引速度」の比で決まることを、手を動かして見せてくれます。

6. Landau-Zener公式の読み方

Landau-Zener問題の有名な結果は、初期時刻 $t=-\mathrm{\infty }$ で基底状態にいた系が、掃引後に励起状態側へ残る確率

$$P_{\mathrm{L}\mathrm{Z}}=\exp (-\frac{\pi g^2}{\alpha })$$

です。この式は、上で採用したハミルトニアン

$$\hat{H}/\hslash =\left(\begin{array}{cc}-\alpha t& -g\\ -g& \alpha t\end{array}\right)$$

の規約に対応します。文献によって $t$ の係数を半分に置くことがあり、その場合は指数の係数が異なる形で書かれます。物理的な意味は同じです。

式から分かることは明快です。$g$ が大きいほど指数は大きな負の値になり、失敗確率は小さくなります。$\alpha$ が小さい、つまり掃引が遅いほど、やはり失敗確率は小さくなります。

$$g\uparrow \text{or}\alpha \downarrow ⟹P_{\mathrm{L}\mathrm{Z}}\downarrow$$

これが「ギャップが大きいところは速く動かしてもよいが、ギャップが小さいところはゆっくり動かす」という断熱計算の基本直観です。

コラム 2024大学院講義 第7回 1:22:00-1:33:00

横磁場が遷移を起こす

横磁場がないと、縦磁場をどれだけ変えても、状態は位相を回すだけで別の基底状態へ移りません。横磁場が入ると、二つの状態が混ざり、基底状態を追いかける道ができます。

講義では、$P_{\rm LZ}$ の指数を見ながら、横磁場を大きくすること、掃引をゆっくりにすることが、低エネルギー状態への追随を助けると説明されました。量子アニーリングの「横磁場を入れて、ゆっくり変える」という言葉が、ここで初めて式として手触りを持ちます。

7. 断熱条件との関係

一般の時間依存ハミルトニアンでは、瞬間固有状態 $|n(t)⟩$ を用いて、非断熱遷移を抑える条件を

$$\frac{|⟨m(t)|\dot{\hat{H}}(t)|n(t)⟩|}{{(E_m(t)-E_n(t))}^2}\ll 1(m\ne n)$$

のように書きます。分子はハミルトニアンを動かす速さ、分母はエネルギーギャップの二乗です。

Landau-Zener模型では、$\dot{\hat{H}}=\hslash \alpha {\hat{\sigma }}^z$ なので、速く掃引するほど非断熱遷移が増えます。最小ギャップが $2\hslash g$ なので、$g$ が小さいほど危険です。この二つの量の競争が、公式の指数 $\pi g^2/\alpha$ に圧縮されています。

8. 量子アニーリングへの翻訳

量子アニーリングでは、

$$\hat{H}(s)=(1-s){\hat{H}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}+s{\hat{H}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}},s=s(t)$$

のようにハミルトニアンを変えます。途中で小さなギャップが現れると、Landau-Zener遷移と同じ構図で励起状態へ漏れます。失敗を抑えるには、

$$\frac{ds}{dt}\propto \mathrm{\Delta }(s{)}^2$$

のように、ギャップが小さい場所でスケジュールを遅くするのが自然です。この考えは、補遺: グローバー探索問題で局所断熱スケジュールとして具体化され、補遺: QAの収束定理では一般のIsing型最適化問題に対する十分条件として現れます。

板書画像では、大学院講義2024板書 p.25、p.26、p.27、p.28でLandau-Zener遷移の計算を確認できます。参考文献: [1], [2]。

参考文献

1. Clarence Zener, “Non-adiabatic crossing of energy levels,” Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 137, 696–702 (1932). 出典

2. Eric P Glasbrenner, Wolfgang P Schleich, “The Landau–Zener formula made simple,” Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 56, 104001 (2023). 出典