補遺: 静的近似の破れ

量子アニーリングの平均場解析では、Suzuki--Trotter分解を行ったあと、秩序変数が虚時間方向に依存しないと仮定することが多いです。この仮定が静的近似です。p-spin模型、Hopfield模型、反強磁性XX項、不均一横磁場の話では、静的近似のおかげで最後に $2\times 2$ の一スピン量子問題へ戻り、自由エネルギーを読みやすい式で書けました。

ただし、静的近似は「いつも正しい公式」ではありません。横磁場がある量子スピングラスでは、虚時間方向の相関そのものが物理を運ぶことがあります。秩序変数を $m$ や $q$ の定数へ潰すと、相図の形はそれらしく見えても、低温で不自然なエントロピーや、正しくない相関関数が出ることがあります。ここでは、まず静的近似をもう一度式で振り返り、その後、どのように破れを調べるかを整理します。

1. 静的近似で何を捨てているか

横磁場つきの平均場ハミルトニアンを考えます。

$$\hat{H}=-Nf\left(\frac{1}{N}\sum _i{\hat{\sigma }}_i^z\right)-\mathrm{\Gamma }\sum _i{\hat{\sigma }}_i^x$$

分配関数 $Z=\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{-\beta \hat{H}}$ を $M$ 個のTrotterスライスへ分け、各スライスに磁化

$$m_t=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\sigma }_{i,t}(t=1,\dots ,M)$$

を導入します。制約はいつものようにデルタ関数で入れます。

$$1=\int d{m}_{t}d{\tilde{m}}_t\exp [-{\tilde{m}}_t(N{m}_t-\sum _i{\sigma }_{i,t})]$$

すると分配関数は概略

$$\begin{array}{rl}Z& \propto \int \prod _{t}d{m}_{t}d{\tilde{m}}_t\exp \left[N\sum _t\{\frac{\beta }{M}f(m_t)-m_t{\tilde{m}}_t\}\right]\\ & \times {[\sum _{\{{\sigma }_t\}}\exp (\sum _t{\tilde{m}}_t{\sigma }_t+B\sum _t{\sigma }_t{\sigma }_{t+1})]}^N\end{array}$$

になります。横磁場は虚時間方向の結合

$$B=\frac{1}{2}\log \coth \frac{\beta \mathrm{\Gamma }}{M}$$

に変わります。ここまでは近似ではありません。近似が入るのは次の一行です。

$$m_t\to m,{\tilde{m}}_t\to \frac{\beta }{M}\tilde{m}$$

この仮定により、虚時間方向の有効一次元鎖を、ふたたび一スピンの量子問題へ戻せます。たとえば $f(m)=J{m}^p$ なら

$$f_{\mathrm{S}\mathrm{A}}(m)=(p-1)J{m}^p-\frac{1}{\beta }\log 2\cosh \left[\beta \sqrt{\{pJ{m}^{p-1}{\}}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2}\right]$$

となります。静的近似が便利なのは、このように虚時間の関数 $m_t$ を、有限個の秩序変数へ畳み込めるからです。

しかし、式 (eq-sa-break-006) は強い仮定です。横磁場があると、スピンは虚時間方向に反転します。したがって、同じサイトの別時刻相関

$$R(t,t^{\prime })=\frac{1}{N}\sum _i⟨{\sigma }_{i,t}{\sigma }_{i,t^{\prime }}⟩$$

は、一般には $t-t^{\prime }$ に依存します。スピングラスでは、別レプリカ間の重なり

$$q_{ab}(t,t^{\prime })=\frac{1}{N}\sum _i⟨{\sigma }_{i,t}^a{\sigma }_{i,t^{\prime }}^b⟩(a\ne b)$$

も必要になります。静的近似は、これらを

$$m_t=m,R(t,t^{\prime })=R,q_{ab}(t,t^{\prime })=q$$

のように定数へ置く操作です。つまり、静的近似とは「秩序変数が虚時間の形を持つ可能性」を捨てる近似です。

2. 破れをどう見るか

静的近似の破れを調べる基本は、静的解のまわりに虚時間依存の揺らぎを入れることです。

$$m_t=m+\delta m_t,R(t,t^{\prime })=R+\delta R(t,t^{\prime }),q(t,t^{\prime })=q+\delta q(t,t^{\prime })$$

虚時間方向は周期的なので、揺らぎをFourierモードで書けます。

$$\delta m_t=\sum _{\omega }\delta m_{\omega }{e}^{i\omega t},\delta R(t,t^{\prime })=\sum _{\omega }\delta R_{\omega }{e}^{i\omega (t-t^{\prime })}$$

静的近似は $\omega =0$ のモードだけを残す近似です。したがって、$\omega \ne 0$ のモードが自由エネルギーを下げるなら、静的近似は破れています。自由エネルギーを二次まで展開すると、模式的には

$${\delta }^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}\sum _{\omega }[{\mathrm{\Lambda }}_m(\omega )|\delta m_{\omega }{|}^2+{\mathrm{\Lambda }}_R(\omega )|\delta R_{\omega }{|}^2+{\mathrm{\Lambda }}_q(\omega )|\delta q_{\omega }{|}^2]$$

です。すべての非零モードで $\mathrm{\Lambda }(\omega )>0$ なら、静的解は虚時間依存の揺らぎに対して安定です。どこかで $\mathrm{\Lambda }(\omega )<0$ になると、秩序変数は時間依存の形を選びます。

この見方は、詳細な計算をする前の羅針盤になります。強磁性平均場模型のように一つの磁化が支配する系では、非零モードが効かず静的近似が正当化されることがあります。一方、スピングラス相では、状態の多さと横磁場による虚時間反転が絡むため、$R(t,t^{\prime })$ や $q(t,t^{\prime })$ の形を無視できないことがあります。

3. 横磁場スピングラスで起こること

Sherrington--Kirkpatrick模型は、ランダム結合を持つ全結合Isingスピングラスの基本模型です。横磁場を入れると、古典的な重なり $q$ だけでなく、同じレプリカ内の虚時間相関 $R(t,t^{\prime })$ が現れます。これが、静的近似を試す格好の場になります。

Obuchi--Nishimori--Sherringtonが詳しく調べたのは、SK模型そのものというより、その系譜にある強磁性バイアスつきの $p$-spin相互作用スピングラスです。

$$\hat{H}=-\sum _{i_1<\cdots <i_p}{J}_{i_1\cdots i_p}{\hat{\sigma }}_{i_1}^z\cdots {\hat{\sigma }}_{i_p}^z-\mathrm{\Gamma }\sum _{i=1}^N{\hat{\sigma }}_i^x$$

結合 $J_{i_1\cdots i_p}$ はランダムですが、平均として強磁性的なバイアスを持たせます。

$$P(J)\propto \exp [-\frac{N^{p-1}}{J^{2}p!}{(J-\frac{j_{0}p!}{N^{p-1}})}^2]$$

$j_0$ が大きいと強磁性秩序を好み、乱れの幅 $J$ が大きいとスピングラス性が強くなります。この模型では、レプリカ法とTrotter分解により、秩序変数

$$m_t^a=\frac{1}{N}\sum _i{\sigma }_{i,t}^a,R^a(t,t^{\prime })=\frac{1}{N}\sum _i{\sigma }_{i,t}^a{\sigma }_{i,t^{\prime }}^a,q^{ab}(t,t^{\prime })=\frac{1}{N}\sum _i{\sigma }_{i,t}^a{\sigma }_{i,t^{\prime }}^b$$

を入れます。$m$ は強磁性秩序、$q$ はスピングラス秩序、$R$ は量子ゆらぎによる虚時間相関です。制約はデルタ関数とフーリエ積分表示で入れ、共役場 $\tilde{m},\tilde{R},\tilde{q}$ を導入します。レプリカ対称性と静的近似では

$$m_t^a=m,R^a(t,t^{\prime })=R,q^{ab}(t,t^{\prime })=q$$

と置きます。ハバード--ストラトノビッチ変換を使うと、レプリカ間結合と同一レプリカ内結合は二つのガウス場へ分解されます。

$$A=\sqrt{2\tilde{R}-\tilde{q}}{z}_2+\sqrt{\tilde{q}}{z}_1+\tilde{m},Dz=\frac{dz}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$$

そして一スピン量子問題のトレースから

$$\omega =\sqrt{A^2+{\beta }^2{\mathrm{\Gamma }}^2},\mathrm{T}\mathrm{r}{e}^{A{\hat{\sigma }}^z+\beta \mathrm{\Gamma }{\hat{\sigma }}^x}=2\cosh \omega$$

が出ます。静的近似のレプリカ対称自由エネルギーは

$$\begin{array}{rl}-\beta f_{\mathrm{R}\mathrm{S}}& =\frac{1}{4}{\beta }^2{J}^2(R^p-q^p)+\frac{1}{2}\tilde{q}q-\tilde{R}R+\beta j_0{m}^p-\tilde{m}m\\ & +\int D{z}_1\log \int D{z}_{2}2\cosh \omega \end{array}$$

です。鞍点方程式は

$$\tilde{m}=\beta j_{0}p{m}^{p-1},\tilde{R}=\frac{1}{4}{\beta }^2{J}^{2}p{R}^{p-1},\tilde{q}=\frac{1}{2}{\beta }^2{J}^{2}p{q}^{p-1}$$

と、$m,R,q$ を $\omega$ の熱平均で決める式から成ります。

$p\to \mathrm{\infty }$ 極限では、共役場が $0$ か $\mathrm{\infty }$ へ分かれるため、相の候補が非常に見やすくなります。

$$\begin{array}{cc}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}& (m,R,q)\\ \mathrm{Q}\mathrm{P}& (0,\frac{\tanh \beta \mathrm{\Gamma }}{\beta \mathrm{\Gamma }},0)\\ \mathrm{C}\mathrm{P}& (0,1,0)\\ \mathrm{F}& (1,1,1)\\ \mathrm{S}\mathrm{G}& (0,1,1)\end{array}$$

QPは量子常磁性相、CPは古典常磁性相、Fは強磁性相、SGはスピングラス相です。$R$ が1より小さいQPでは、横磁場による虚時間反転が本質的に残ります。CP、F、SGでは $R=1$ となり、$p\to \mathrm{\infty }$ 極限では量子ゆらぎが秩序変数の値には直接現れません。

ただし、ここで油断してはいけません。レプリカ対称解ではSG相の自由エネルギーが不自然になり、正しいSG相には1段階レプリカ対称性の破れが必要です。$p\to \mathrm{\infty }$ のランダムエネルギー模型的な極限では1RSBでSG相の自由エネルギーが

$$f_{\mathrm{S}\mathrm{G}}=-J\sqrt{\log 2}$$

になります。つまり、静的近似の問題とレプリカ対称性の破れの問題は別々に見なければなりません。静的近似を置くかどうか、レプリカ対称性を保つかどうか。この二つを混ぜると、何が悪かったのか分からなくなります。

4. 虚時間依存の摂動による静的解の安定性

Obuchi--Nishimori--Sherringtonの計算で特に大事なのは、静的近似を仮定したあとで、その仮定を点検したことです。静的解のまわりに $t,t^{\prime }$ 依存の補正を入れます。

$$\tilde{R}(t,t^{\prime })=\tilde{R}+\mathrm{\Delta }\tilde{R}(t,t^{\prime }),\tilde{q}(t,t^{\prime })=\tilde{q}+\mathrm{\Delta }\tilde{q}(t,t^{\prime }),\tilde{m}(t)=\tilde{m}+\mathrm{\Delta }\tilde{m}(t)$$

有効ハミルトニアンを

$$H_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=H_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}}+V(t,t^{\prime })$$

と分け、$V(t,t^{\prime })$ で自由エネルギーを展開します。大きな $p$ では、共役場が秩序変数の $(p-1)$ 乗で決まるため、時間依存の小さなずれは急激に抑えられます。この仕組みにより、F相、CP相、SG相では、少なくとも大きな $p$ の極限で静的近似が自由エネルギーを正しく与えることが確認されます。

一方、QP相では事情が違います。虚時間相関 $R(\tau )$ は定数ではありません。連続虚時間

$$\tau =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|t-t^{\prime }|}{M}$$

を使うと、静的解のまわりの解析から

$$R(\tau )=\int D{z}_1{Y}^{-1}[\int D{z}_2\frac{A^2}{{\omega }^2}\cosh \omega +{\beta }^2{\mathrm{\Gamma }}^2\int D{z}_2\frac{\cosh \{\omega (1-2\tau )\}}{{\omega }^2}]$$

のような虚時間依存が現れます。静的近似の $R$ は、この $R(\tau )$ を虚時間で平均したものに対応します。したがって自由エネルギーだけを見ると静的近似が当たる場合でも、相関関数まで見ると時間依存が消えていないことがあります。

この結果は、静的近似との付き合い方をかなり正直に教えてくれます。相図だけを描きたいとき、ある極限では静的近似が正しい自由エネルギーを与えることがあります。しかし、量子ゆらぎが強い相では、虚時間相関を見れば近似の中で捨てたものが戻ってきます。静的近似は、便利な入口であって、最後の検査ではありません。

5. 静的近似が厳密になる平均場量子スピン系

静的近似が怪しい場面を見たあとで、今度は逆に、静的近似が本当に正しくなる場合を見ます。Okuyama--Ohzekiは、かなり広い平均場量子スピン系について、虚時間依存を捨てずに分配関数を扱い、結果として静的近似と同じ解が最適になることを示しました。

扱うハミルトニアンは

$${\hat{H}}_G=-N\sum _{\mu }{f}_{\mu }\left(\frac{1}{N}\sum _i{J}_i^{\mu }{\hat{\sigma }}_i^z\right)-N\sum _{\nu }{g}_{\nu }\left(\frac{1}{N}\sum _i{\mathrm{\Gamma }}_i^{\nu }{\hat{\sigma }}_i^x\right)$$

です。縦方向にも横方向にも、全体平均の関数だけが入っています。有限個の記憶パターンを持つHopfield模型、反強磁性XX項つきの平均場模型、不均一横磁場を持つ平均場p-spin模型は、この形に含まれます。

静的近似をしないでTrotter表示を残すと、秩序変数

$$m_{\mu }^z(t),m_{\nu }^x(t)$$

は虚時間の関数です。一見すると無限次元の変分問題になります。ここで発想を変え、Trotter方向の積を虚時間Schrodinger方程式として読みます。

$$\frac{d}{d\tau }|\psi (\tau )⟩={\hat{H}}_{\mathrm{I}\mathrm{M}}[\{m_{\mu }^z(\tau )\},\{m_{\nu }^x(\tau )\}]|\psi (\tau )⟩$$

分配関数は、終端で得られるベクトルの成分和として読めます。したがって、虚時間依存する秩序変数をどう選べば分配関数が最大になるか、という問題になります。これは、制御関数が $m_{\mu }^z(\tau ),m_{\nu }^x(\tau )$ である最適制御問題です。

Pontryagin型の条件を使うと、最適経路は静的な鞍点方程式を満たします。静的な解での有効場を

$$A_i=\sum _{\mu }{J}_i^{\mu }{f}_{\mu }^{\prime }(m_{\mu }^z),B_i=\sum _{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_i^{\nu }{g}_{\nu }^{\prime }(m_{\nu }^x),E_i=\sqrt{A_i^2+B_i^2}$$

と書くと、自己無撞着方程式は

$$m_{\mu }^z=\frac{1}{N}\sum _i{J}_i^{\mu }\frac{A_i}{E_i}\tanh (\beta E_i)$$

$$m_{\nu }^x=\frac{1}{N}\sum _i{\mathrm{\Gamma }}_i^{\nu }\frac{B_i}{E_i}\tanh (\beta E_i)$$

です。これは、静的近似から得られる鞍点方程式そのものです。

この結果は、この講義ノートの多くの平均場計算を支える安心材料になります。反強磁性XX項による一次転移回避や、不均一横磁場による一次転移回避は、静的近似だけに乗った危うい絵ではありません。少なくとも式 (eq-sa-break-028) に入る平均場クラスでは、虚時間依存を許しても静的解が最適になります。

同時に、限界もはっきりしています。式 (eq-sa-break-028) は、有限個の平均場秩序変数で書ける系です。スピングラス相のように、レプリカ間重なり $q(t,t^{\prime })$ や同一レプリカ内相関 $R(t,t^{\prime })$ の全関数が主役になる場合は、この定理の外へ出ます。静的近似が正確になる話と、静的近似が破れる話は、同じ矛盾ではなく、対象とする秩序変数の数が違う話です。

6. 有限Trotterサイズにおける記憶模型のレプリカ対称解

横磁場Hopfield模型では、記憶パターンの数が有限なら、式 (eq-sa-break-028) の平均場クラスに入り、静的近似が正確になります。では、記憶パターン数が $P=\alpha N$ のようにスピン数に比例する場合はどうでしょうか。このとき、思い出したい記憶以外のパターンがクロストークノイズを作り、レプリカ法が必要になります。

Okajima--Kabashimaは、横磁場Hopfield模型を有限Trotterサイズ $M$ のままレプリカ対称解で扱い、静的近似が何を近似しているのかを詳しく見ました。ハミルトニアンは

$$-{\hat{\mathcal{H}}}_0=\frac{1}{N}\sum _{i<j}\sum _{\mu =1}^P{\xi }_i^{\mu }{\xi }_j^{\mu }{\hat{\sigma }}_i^z{\hat{\sigma }}_j^z,-\hat{\mathcal{H}}=-{\hat{\mathcal{H}}}_0+\mathrm{\Gamma }\sum _i{\hat{\sigma }}_i^x$$

です。Trotter表示では

$$Z_M=\sum _{\{{\sigma }_{i,t}\}}\exp [\frac{\eta }{N}\sum _t\sum _{i<j}\sum _{\mu =1}^P{\xi }_i^{\mu }{\xi }_j^{\mu }{\sigma }_{i,t}{\sigma }_{j,t}+B\sum _{i,t}{\sigma }_{i,t}{\sigma }_{i,t+1}]$$

となります。ここで

$$\eta =\frac{\beta }{M},B=-\frac{1}{2}\log \tanh (\eta \mathrm{\Gamma })$$

です。

一つの記憶を取り出す相を見たいので、第一パターンを ${\xi }_i^1=1$ としてよいです。有限Trotterサイズのレプリカ対称解析では、秩序変数は数ではなく、$M\times M$ の行列になります。

$$q_{t{t}^{\prime }}=\frac{1}{N}\mathbb{E}[\sum _i⟨{\sigma }_{i,t}{\sigma }_{i,t^{\prime }}⟩],{\chi }_{t{t}^{\prime }}=\frac{1}{N}\mathbb{E}[\sum _i\{⟨{\sigma }_{i,t}{\sigma }_{i,t^{\prime }}⟩-⟨{\sigma }_{i,t}⟩⟨{\sigma }_{i,t^{\prime }}⟩\}]$$

さらに、記憶との重なり

$$m_t=\frac{1}{N}\mathbb{E}[\sum _i⟨{\sigma }_{i,t}⟩]$$

を入れます。レプリカ対称自由エネルギーは、$q,\chi$ と共役行列 $\hat{q},\hat{\chi }$、さらに $m$ に関する鞍点問題になります。

$$\begin{array}{rl}-\beta f_M=\mathrm{extr}\{& \frac{\mathrm{T}\mathrm{r}q\hat{q}}{2M}+\frac{\mathrm{T}\mathrm{r}\chi \hat{\chi }}{2M}+\frac{\parallel m{\parallel }^2}{2M}+\frac{\alpha }{2\beta }\log det(I-\eta \chi )\\ & -\frac{\alpha }{2M}\mathrm{T}\mathrm{r}(I-\eta \chi {)}^{-1}(q-\chi )-\frac{1}{\beta }{\mathbb{E}}_z\log \sum _{\{{\sigma }_t\}}{e}^{-H_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}\}\end{array}$$

有効ハミルトニアンは、虚時間方向に $M$ 個のスピンを持つ長距離Ising模型です。

$$-H_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\frac{\eta }{2}\sum _{t,t^{\prime }}{\hat{q}}_{t{t}^{\prime }}{\sigma }_t{\sigma }_{t^{\prime }}+\eta \sum _t(z_t+m_t){\sigma }_t+B\sum _t{\sigma }_t{\sigma }_{t+1}$$

ここで $z$ は共役行列 $\hat{\chi }$ で決まるガウス場です。つまり、多数の埋め込みパターンが作るクロストークノイズは、虚時間方向に相関を持つランダム場として一スピン有効模型へ入ります。

虚時間方向に並進対称性があるため、$q,\chi ,\hat{q},\hat{\chi }$ は巡回行列になります。したがって、離散Fourier変換で対角化できます。

$$q=F_M\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(q_0,\dots ,q_{M-1})F_M^{†},\chi =F_M\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\chi }_0,\dots ,{\chi }_{M-1})F_M^{†}$$

通常の静的近似は、このうちゼロモードだけを残す近似だと読めます。しかし、Okajima--Kabashimaの解析で面白いのは、もう少し弱い条件が自然に現れることです。共役行列 $\hat{\chi }$ がゼロモードだけを持つとします。

$$\hat{\chi }={\hat{\chi }}_0\frac{\mathbf{1}{\mathbf{1}}^{\mathsf{T}}}{M}$$

このとき、ガウス場は $z_t=\mathsf{z}$ と虚時間に依存しない形になり、有効模型の外場も静的になります。この関係は quasi-static ansatz, qSA と呼ばれます。qSAでは $m_t=m$ は静的ですが、$q_{t{t}^{\prime }}$ や ${\chi }_{t{t}^{\prime }}$ の虚時間依存までは捨てません。

qSAの自己無撞着条件の一部は

$${\hat{q}}_0=\frac{\alpha \beta {\chi }_0}{1-\beta {\chi }_0},{\hat{\chi }}_0=\frac{\alpha \beta (q_0-{\chi }_0)}{(1-\beta {\chi }_0{)}^2}$$

$$m={\mathbb{E}}_{\mathsf{z}}\left[{⟨\frac{1}{M}\sum _{t=0}^{M-1}{\sigma }_t⟩}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f},0}\right]$$

と書けます。通常の静的近似は、さらに $\hat{q}$ もゼロモードへ射影します。

$$(\mathrm{S}\mathrm{A})\hat{q}=\frac{\alpha \eta {\chi }_0}{1-\eta {\chi }_0}\frac{\mathbf{1}{\mathbf{1}}^{\mathsf{T}}}{M}$$

つまり、qSAは「外場の乱れは静的に見える」という仮定で、SAは「相互作用の虚時間構造も静的に潰す」という追加の近似です。この差は小さく見えますが、概念的にはかなり大きいです。有限Trotterサイズで $q_{t{t}^{\prime }}$ と ${\chi }_{t{t}^{\prime }}$ を残すと、静的近似が何を捨てているかが見えるからです。

qSAの安定性は、非零Fourierモードを入れて調べます。有効模型の連結相関の $k$ モードを $C_k(\mathsf{z})$ とすると、安定条件は

$$\alpha {\eta }^2\frac{{\mathbb{E}}_{\mathsf{z}}[C_k(\mathsf{z}{)}^2]}{(1-\eta {\chi }_k{)}^2}<1(k\ge 1)$$

です。一方、レプリカ対称性そのものの安定性、古典スピングラスでいうde Almeida--Thouless条件に対応するものは、同じ式の $k=0$ モードで表されます。

この結果から、横磁場Hopfield模型では次のような見方が得られます。静的近似は厳密ではありません。実際、有限Trotterサイズで見ると、$q$ や $\chi$ の非零Fourierモードは存在します。しかし、数値的にはそれらが速く減衰し、相境界のずれは小さいです。特に小さな $\alpha$ では、静的近似が転移点の主要な振る舞いをよく捉えます。

これは「静的近似を使ってよい」と雑に言っているのではありません。より正確には、次の順番で理解します。

1. $m_t$ だけを見るなら、retrieval相では静的な磁化が自然に出ます。
2. クロストークノイズは $q_{t{t}^{\prime }}$ と ${\chi }_{t{t}^{\prime }}$ という虚時間行列を作ります。
3. qSAでは、外場のガウス揺らぎはゼロモードで閉じる。
4. SAは、さらに $\hat{q}$ の非零モードを捨てるrank-one近似です。
5. 有限Trotter計算では、このrank-one近似の誤差を直接測れる。

静的近似が破れるかどうかは、白黒ではありません。自由エネルギー、相境界、相関関数、安定性条件のどれを見るかで答えが違います。Okajima--Kabashimaの有限Trotter解析は、その違いを切り分けるためのきれいな道具になっています。

7. 使い分けの指針

平均場量子アニーリングの式を読むとき、静的近似は最初の地図として非常に強い力を持ちます。p-spin模型、non-stoquastic触媒、不均一横磁場、リバースアニーリングでは、自由エネルギー地形を短い式で描ける。この見通しのよさは捨てる必要がありません。

しかし、スピングラス相や多数パターンHopfield模型では、虚時間相関が研究対象そのものになります。その場合は、少なくとも次の点を点検したくなります。

1. 秩序変数が有限個の平均場変数で閉じるか。
2. $R(t,t^{\prime })$ や $q(t,t^{\prime })$ を定数にしたとき、低温エントロピーや相関関数が不自然にならないか。
3. 非零Fourierモードの安定性を見たか。
4. レプリカ対称性の破れと静的近似の破れを区別したか。
5. 静的近似で得た相図を、有限TrotterサイズのQMCや有限サイズ対角化と照合したか。

この補遺の結論は、静的近似を怖がることではありません。むしろ逆です。静的近似は、どこで正確になり、どこで破れ、破れたとき何が足りなくなるかまで含めて使うと、量子アニーリングの相図を読む強い言語になります。計算を楽にするための仮定で終わらせず、仮定そのものを物理として調べます。そこから、平均場模型の解析は一段深くなります。

参考文献: [1], [2], [3]。

参考文献

1. Tomoyuki Obuchi, Hidetoshi Nishimori, David Sherrington, “Phase Diagram of the p-Spin-Interacting Spin Glass with Ferromagnetic Bias and a Transverse Field in the Infinite- p Limit,” Journal of the Physical Society of Japan 76, 054002 (2007). 出典

2. Manaka Okuyama, Masayuki Ohzeki, “An exact solution of the partition function for mean-field quantum spin systems without the static approximation,” arXiv:1808.09707 (2018). 出典

3. Koki Okajima, Yoshiyuki Kabashima, “Exact Replica Symmetric Solution for Transverse Field Hopfield Model under Finite Trotter Size,” Journal of the Physical Society of Japan 94, 044005 (2025). 出典